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二次函数的三种表示方式例题

  来源:网络  作者:未知 今日点击:
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 例1  已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.
分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.
解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2.
又顶点在直线y=x+1上,
所以,2=x+1,∴x=1.
∴顶点坐标是(1,2).
设该二次函数的解析式为
∵二次函数的图像经过点(3,-1),
,解得a=-2.
∴二次函数的解析式为 ,即y=-2x2+8x-7.
说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.
例2  已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.
解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴可设二次函数为y=a(x+3) (x-1) (a≠0),
展开,得   y=ax2+2ax-3a,
顶点的纵坐标为
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,
∴|-4a|=2,即a=
所以,二次函数的表达式为y= ,或y=-
       分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x=-1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.
       解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴对称轴为直线x=-1.
又顶点到x轴的距离为2,
∴顶点的纵坐标为2,或-2.
于是可设二次函数为y=a(x+1)2+2,或y=a(x+1)2-2,
由于函数图象过点(1,0),
∴0=a(1+1)2+2,或0=a(1+1)2-2.
∴a=- ,或a=
所以,所求的二次函数为y=- (x+1)2+2,或y= (x+1)2-2.
       说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.
例3  已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
解:设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0).
由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
  
     解得 a=-2,b=12,c=-8.
所以,所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.
通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式? 

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关键词: 二次函数
编辑:特约讲师