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二次函数的三种表示方式

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二次函数的三种表示方式
二次函数可以表示成以下两种形式
1.二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
2.二次函数的顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.
当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有
ax2+bx+c=0.     ①
       并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac存在下列关系:
(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立.
(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.
(3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点,则Δ<0也成立.
于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以
x1+x2 ,x1x2
即       =-(x1+x­2), =x1x2
       所以,y=ax2+bx+c=a( )
           = a[x2-(x1+x­2)x+x1x2]
           =a(x-x1) (x-x2).
    由上面的推导过程可以得到下面结论:
       若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).
       这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法
3.二次函数的交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2二次函数图象与x轴交点的横坐标.
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.

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关键词: 二次函数
编辑:特约讲师