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高中数学定义法解题思路示范

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数学定义法
所谓定义法,就是直接用高中数学定义解题。高中数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。
数学定义法示范性题组:
例1. 已知z=1+i,  ① 设w=z +3 -4,求w的三角形式;    ② 如果 =1-i,求实数a、b的值。(94年全国理)
【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z=1+i,有w=z +3 -4=(1+i) +3 -4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是 (cos +isin );
由z=1+i,有 =(a+2)-(a+b)i。
由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;
根据复数相等的定义,得:
解得
【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)=-x +cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log f(x)的定义域,判定在( ,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n与c的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。
【解】   解得:  
 ∴ f(x)=-x +x  解f(x)>0得:0<x<1
<x <x <1, 则f(x )-f(x )=-x +x -(-x +x )=(x -x )[1-(x +x )( x +x )],
∵ x +x > , x +x >    ∴ (x +x )( x +x )〉 × =1
∴ f(x )-f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数
<1   ∴ y=log f(x) 在( ,1)上是增函数。
 

  A’              A
                      D
       C’                C
          O            H
 B’              B  
 

【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中,运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是AC中点。
①   证明:AB’∥平面DBC’;
②   假设AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度数。(94年全国理)
数学定义法解题的思路】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形 
∴ O是B’C中点
△AB’C中, D是AC中点    ∴ AB’∥OD   
∴   AB’∥平面DBC’
②      作DH⊥BC于H,连接OH  ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD,  AB’⊥BC’   ∴ BC’⊥OD  
∴ BC’⊥OH  即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC=1,作OE⊥BC于E,则DH= sin60°= ,BH= ,EH=  ;   
Rt△BOH中,OH =BH×EH= , 
∴  OH= =DH    ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度数为45°。
运用高中数学定义应注意】对于二面角D—BC’—C的平面角,容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线DH,再证得垂直于棱的垂线DO,最后连接两个垂足OH,则∠DOH即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练,在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为:假设AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下:作AE⊥BC于E,连接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以 ,EF= B’E。在Rt△B’BE中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E×EF=BE B’E =1,所以B’E=
 

 y
    M  F
      A      x
 

例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到 建立一个方程,再由离心率的定义建立一个方程。
【数学定义法解题的思路】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到:
  ,消m得:(x-1) =1,
所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1) =1。
运用高中数学定义应注意】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件,根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
五、
 

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关键词: 定义法,解题,思路,定义
编辑:特约讲师